ROUGH DRAFT authorea.com/18693
Main Data History
Export
Show Index Toggle 0 comments
  •  Quick Edit
  • Poročilo za projekt pri predmetu Matematično modeliranje

    Opis problema

    Narisati želimo graf polinoma. Pri tem si pomagamo ...

    Rešitev

    Graf funkcije

    Graf funkcije \(f\) je množica točk v ravnini, pri katerih je \(y\) koordianta enaka vrednosti funkcije v koordinati \(x\) (glej (Tomšič 2004)). Točke na grafu \(f\) so torej oblike \((x,f(x))\).

    Na danem intervalu lahko graf funkcije narišemo tako, da izračunamo dovolj točk, ki so na grafu in sosednje točke povežemo z daljicami. Točke na grafu dobimo tako, da izberemo zaporedje ekvidistančnih vrednosti koordinate \(x\) na izbranem intervalu \([a,b]\): \[a=x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n=b\] Za vsak izbran \(x_i\) izračunamo vrednost \(y\) koordinate kot vrednost funkcije \(f\) v \(x_i\) \[y_i=f(x_i).\]

    Vrednosti polinoma

    Vrednosti polinoma, ki je podan v obliki \[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\] najbolj učinkovito računamo s Hornerjevim algoritmom (Wikipedia 2015), ki ga v kompaktni obliki lahko zapišemo kot forumlo: \[\label{eqn:horner} p(x)= a_0 +x(a_1+x(a_2+\ldots +x(a_{n-1}+xa_n))\ldots ).\] Formulo (\ref{eqn:horner}) lahko prepišemo v rekurzivno enačbo

    \[\begin{aligned} \label{eqn:rechorner} p_0&=a_n\\ p_i&= a_{n-i} + x p_{i-1}\end{aligned}\]

    in po \(n\) korakih dobimo vrednost polinoma \(p_n=p(x)\). Rekurzivno zaporedje (\ref{eqn:rechorner}) bomo uporabili v naši implementaciji.

    Program

    Program za izris smo napisali v programskem jeziku octave. Za računaje vrednosti polinoma uporabimo Hornerjev algoritem v obliki rekurzivne formule (\ref{eqn:rechorner}) function risi(p,a,b) t=linspace(a,b); y = p(1); for i=1:(length(p)-1) y = p(i+1) + x*y; end plot(t,y) end

    Rezultati in primeri

    Primer polinoma \(x^2+1\). p=[1 0 1]; % koeficineti polinoma risi(p,-2,2);

    Graf polinoma \(x^2+1\).