Osea que en dicho diagrama:
N(¯\(c_i\)¯\(c_j\)) =\(N-\left[N\left(c_i\right)+N\left(c_j\right)\right]+N\left(c_ic_j\right)\)
De igual forma en el siguiente diagrama:
N(¯\(c_i\)¯\(c_j\)¯\(c_k\)) = \(N-\left[N\left(c_i\right)+N\left(c_j\right)+N\left(c_k\right)\right]+\left[N\left(c_ic_j\right)+N\left(c_ic_k\right)+N\left(c_jc_k\right)\right]-N\left(c_ic_jc_k\right)\)
Enunciado:
N(¯\(c_1\)¯\(c_2\)...¯\(c_t\)) = \(N-S_1+S_2+...+\left(-1\right)^t.S_t\)
Corolario:
N(\(c_1\) o \(c_2\) o ... o \(c_t\)) = N - N(¯\(c_1\)¯\(c_2\)...¯\(c_t\))
Ejemplo 1
Hallar la cantidad de números naturales entre 1 y 100 que no sean divisibles ni entre 2 ni entre 3 ni entre 5
Solución:
En este caso \(S=\left\{1,2,...,100\right\}\) y N=100, entonces diremos que para cada n ∈ S, satisface la condición:
\(c_1\) si n es divisible por 2
\(c_2\) si n es divisible por 3
\(c_3\) si n es divisible por 5
Lo que buscamos es N(¯\(c_1\)¯\(c_2\)¯\(c_3\)), para eso usamos el principio de inclusión y exclusión:
\(S_1=N\left(c_1\right)+N\left(c_2\right)+N\left(c_3\right)=50+33+20=103\)
\(S_2=N\left(c_1c_2\right)+N\left(c_1c_3\right)+N\left(c_2c_3\right)=16+10+6=32\)
\(S_3=N\left(c_1c_2c_3\right)=3\)
Luego N(¯\(c_1\)¯\(c_2\)¯\(c_3\)) = 100 - 103 + 32 - 3 = 26
Ejemplo 2
Hallar el número de soluciones enteras, no negativas, de 1 ecuación \(x_1+x_2+x_3+x_4=18\), con la condición de que \(x_i\)≤7 , i=1,2,3,4
Solución:
Sea S el conjunto de las soluciones enteras no negativas de \(x_1+x_2+x_3+x_4=18\), entonces |S| = C(21,3)=1330
Decimos que una solución verifica la condición:
\(c_1\) si \(x_1>7\)
\(c_2\) si \(x_2>7\)
\(c_3\) si \(x_3>7\)
\(c_4\) si \(x_4>7\)
La respuesta a nuestro problema es entonces N(¯\(c_1\)¯\(c_2\)¯\(c_3\)¯\(c_4\))
Primero calculamos \(N\left(c_1\right)\) y observamos por simetría que \(N\left(c_1\right)=N\left(c_2\right)=N\left(c_3\right)=N\left(c_4\right)\)
Para calcular \(N\left(c_1\right)\) , debemos hallar el número de soluciones enteras no negativas de \(x_1+x_2+x_3+x_4=18\) con \(x_1\) ≥ 8, o lo que es lo mismo el numero de soluciones enteras no negativas de \(y_1+y_2+y_3+y_4=10\), esto es C( 13 , 3 )
Luego \(N\left(c_1\right)\)= 4.286 = 1144
Con un razonamiento similar tenemos que \(N\left(c_1c_2\right)\) es el numero de soluciones enteras no negativas de la ecuación \(y_1+y_2+y_3+y_4=2\), esto es C( 5 , 2 ) y tenemos C( 4, 2 ) de estos términos, luego \(N\left(c_1c_2\right)\)=60
Tenemos ademas que \(N\left(c_1c_2c_3\right)=N\left(c_1c_2c_3c_4\right)=0\)
Entonces N(¯\(c_1\)¯\(c_2\)¯\(c_3\)¯\(c_4\)) = 246