Vamos a ver 2 principios basicos que utilizaremos frecuentemente en el tema de conteo:
1)Regla de la suma y
2)Regla del producto
1)Regla de la suma
Si una primer tarea puede realizarse de
n 1
formas, mientras que una segunda
tarea puede realizarse de
n 2
formas y no es posible realizar ambas
tareas al mismo tiempo, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas se
puede hacer de (
n 1
+
n 2
) formas.
EJEMPLO:
Con las letras A, B, C, D, E se desean formar cadenas de longitud 4, si
aceptar repeticiones.
¿Cuántas cadenas se pueden formar, que contengan la letra A?
Consideremos los cuatro conjuntos disjuntos dos a dos:
Ai
= {Cadenas en las
cuales la letra A ocupa el lugar i}. Tenemos que:
A1
=
A2
=
A3
=
A4
=24. 4 posibles conbinaciones de la letra A. Por el principio de la suma tenemos entonces
A1
+
A2
+
A3
+
A4
= 96 cadenas
que contienen la letra A.
REGLA DEL PRODUCTO:
Si un procedimiento se puede descomponer en etapas sucesivas, y existen
n 1
, resultados posibles en la primer etapa y para cada uno de estos resultados,
existen
n 2
resultados posibles de la segunda etapa, entonces el procedimiento
total se puede realizar de
n 1
. n 2
, formas posibles
EJEMPLO:
Con las letras A, B, C, D, E se desean formar cadenas de longitud 4, si aceptar repeticiones.
¿Cuántas cadenas se pueden formar?
Una cadena de longitud cuatro se puede construir en cuatro pasos, en cada uno
de los cuales se elige la letra que va en ese lugar. La primer letra se puede elegir
de 5 maneras, una vez elegida esta, la segunda se puede elegir de cuatro maneras
(no se repite), la tercera se puede elegir de tres manera y por último la cuarte de
dos maneras.
Por el principio del producto se tienen en total: 5. 4. 3. 2 = 120 cadenas posibles.
ANALISIS COMBINATORIO
Estudiar la manera de ordenar los elementos de un conjunto, poniendo para cada caso el numero de subconjuntos que pueden formarse con los elementos del conjunto dado.
Arreglos: dado un conjunto de m elementos, llamaremos arreglos de m elementos tomados de a n (n<=m) a todo subconjunto ordenado formado por n elementos cualesquiera elegidos entre los m.
FORMULAS:
PONER FORMULA PARA ARREGLOS (formula cuando importa el orden)
PONER FORMULA PARA CONBINATORIA (formula cuando no importa el orden)
PERMUTACION
Los arreglos de orden M, formados entre los M elementos de un conjunto, es decir las distintas ordenaciones de todos los elementos de un conjunto dado, se llaman permutaciones.
PONER FORMULA PERMUTACION
ARREGLOS CON REPETICION
Si existen N objetos de los cuales N1 son de un tipo, N2 de otro tipo y asi susesivamente hasta Nr (con N1, N2,...,Nr) se tiene que la cantidad de disposiciones lineales de los N objetos dados es:
N!
N1! N2!....Nr!
Los elementos de N1,N2....Nr son indistinguibles.
CONBINACIONES CON REPETICION