Donde ya encontramos el primer término (a1 = 12), y la diferencia común (a2 - a1 = 2), por lo tanto:

    a1 = 12

    an = a(n-1) +2

Las sucesiones en las que el patrón involucra, multiplicar o dividir por un número para obtener el siguiente, se llaman sucesiones geométricas, y son sucesiones en las que la diferencia entre cada uno de los términos es siempre una razón r.

Como lo son el caso del tercer ejemplo del principio, donde la razón es r = 2 .

Esa razón puede ser hallada mediante la fórmula an.r = a(n+1) es decir la razón es el resultado de dividir dos términos consecutivos de una sucesión geométrica.

Estas también se pueden escribir de las mismas tres formas:

    {an(\(r^0\)), an(\(r^1\)), an(\(r^2\)), ... } Por ejemplo : {1, 2, 4, 8, ...}

    -a1 = A

    -an = a(n-1) . r

Donde A es el primer término y r la razón.

Ejemplo: a1 = A = 20 , r = \(\frac{1}{2}\).

{20, 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)\), 10.\(\left(\frac{1}{2}\right)\), 5.\(\left(\frac{1}{2}\right)\), \(\frac{5}{2}\).\(\left(\frac{1}{2}\right)\), ... }

    -an = A(\(r^{n-1}\))

Donde A es el primer término y r la razón.

Ejemplo: A = 20 r = \(\frac{1}{2}\).

{20, 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^1\),  20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^2\), 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^3\), 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^4\) ... }

Las formulas recursivas nos daban el primer término (llamémosle A) y la razón (llamémosle r), por lo tanto, para conseguir la fórmula explícita, podremos escribir an = A . r\(^{\left(n-1\right)}\), para asegurarnos de que el primer término n = 1, anule la r, y nos quede A como primer término, haciendo que coincida con la fórmula recursiva.

Aquí pueden suceder dos cosas nuevamente, o bien nos la dan de la forma: an = A .r\(^{\left(n-1\right)}\), en donde ya tenemos el primer término y la razón, por lo tanto la forma recursiva es:

    -a1 = A

    -an = a(n-1) .r

O bien pueden dárnosla de la forma simplificada: an = (\(\frac{A}{r}\)). r\(^n\), donde A no es evidente, pero la razón si lo es, por lo que podemos multiplicar \(\frac{A}{r}.r\) y obtener el primer término A:

   -a1 = A

   -an = a(n-1) .r 

La monotonía hace referencia a cómo se comporta una sucesión, según sus términos, esta monotonía puede ser creciente o decreciente, siempre y cuando el término siguiente sea siempre mayor que el anterior o siempre menor que el anterior respectivamente.

Si an < a(n+1) para todo n perteneciente a los naturales, entonces se dice que a es una sucesión monótona creciente (SMC).

Si an > a(n+1) para todo n perteneciente a los naturales, entonces se dice que a es una sucesión monótona decreciente (SMD).

Para lograr identificar si una sucesión es monótona creciente o monótona decreciente, lo que se suele utilizar es restarle a  a(n+1), an y al resultado hacerle el limite cuando n tiende a infinito, de forma que:

    Si lim a(n+1) - an ; n \(\vec{ }\)∞ > 0 , entonces a(n+1) > an, por lo tanto, es una SMC.

    Si lim a(n+1) - an ; n \(\vec{ }\)∞ < 0 , entonces an > a(n+1), por lo tanto, es una SMD.

El cómo se comportan las sucesiones da lugar a 3 conceptos: Convergencia, Divergencia u Oscilación.

Para hallar este comportamiento hay que encontrar el lim an ; n \(\vec{ }\)∞, donde pueden ocurrir tres cosas:

lim an ; n \(\vec{ }\)∞ = K => La sucesión converge a K. Por ejemplo lim \(\frac{1}{n}\) ; n \(\vec{ }\)∞ = 0.

lim an ; n \(\vec{ }\)∞ = ±∞ => La sucesión Diverge a  ±∞. Por ejemplo lim -n ; n \(\vec{ }\)∞ = -∞.

lim an ; n \(\vec{ }\)∞ No existe => La sucesión oscila. Por ejemplo lim \(\left(-1\right)^n\) No existe. Oscila entre -1 y 1.

Las series son la suma de todos los infinitos términos de una sucesión.

Por ejemplo:

an = {3, 5, 7, ... }

An = 3+5+7+ ...

(Siendo An la serie generada por la sucesión an)

Para representar a las series, utilizaremos el símbolo Sigma mayúscula ( \(\Sigma\) );

An = \(\Sigma\ an\) (An es la serie que representa a la sumatoria de los términos de la sucesión an).

Para hallar su valor buscaremos el limite de la An, siendo An lo que llamaremos reducida enésima.

La serie puede converger, divergir u oscilar según lo haga la reducida enésima.

lim An ; n \(\vec{ }\)∞ = S => La serie converge, y su valor es S.

lim An ; n \(\vec{ }\)∞ = ±∞ => La serie diverge.

lim An ; n \(\vec{ }\)∞ No existe => La serie oscila.

Para que una serie converja, es necesario que el lim an ; n \(\vec{ }\)∞ = 0, siendo an, la sucesion que genera la serie An  = \(\Sigma\ an\).

Por lo tanto si:

    lim an ; \(\vec{n}\)∞ != 0 => \(\Sigma\ an\) No converge.

    lim an ; \(\vec{n}\)∞ = 0 => \(\Sigma\ an\) puede converger, no necesariamente lo hará.

Las series se pueden clasificar de muchas formas, pero nos centraremos en 3:

    Series geométricas.

    Series telescópicas.

    Series armónicas.

Cabe aclarar que para poder hallar la suma de la serie, esta solo puede tener la forma geométrica o telescópica.

Las series geométricas, son las que se pueden escribir como \(\Sigma\ \left(q\right)^n\), siendo \(\left|q\right|\ <\ 1\).

Su reducida enésima tiene la fórmula: \(\lim\left(\frac{q^{n0}\ +\ q^{n+1}}{1-q}\ \right)\ ,\ \vec{n}\)∞ = \(\left(\frac{q^{n0}}{1-q}\right)\).

Ejemplo: 

\(Sn\ =\ \Sigma\ \left(\frac{1}{2}\right)^n\ =\ \left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)\ =\ 2\), a partir de n = 0 hasta ∞, Converge y su suma es 2

Las series telescópicas, son las que se pueden escribir como \(\Sigma\) b(n+k) - bn. Es decir que se puede representar como la resta de un termino de la sucesion, menos el késimo anterior.

Su reducida enésima tiene la fórmula: \(\lim\ \left(b\left(n+1\right)-b0\right)\)

Ejemplo:

\(Sn\ =\ \Sigma\ \left(L\left(n+1\right)\ -\ L\left(n\right)\right)\ =\ \lim\left(L\left(n+1\right)\ -\ L\left(1\right)\right);\ \vec{n}\)∞ = +∞ Diverge.

Las series armónicas, son las que se pueden escribir como \(\Sigma\) \(\frac{1}{n^{\alpha}}\).

Este tipo de series tienen una particularidad, se sabe que si \(\alpha\ \le1\ \), la serie Diverge, en cambio si 

\(\alpha\ >\ 1\), la serie Converge, y este tipo de series son muy utilizadas para usar el criterio de comparación, del que hablaré a continuación.

Ejemplo:

\(\Sigma\left(\frac{1}{n^5}\right)\), como \(\alpha=5\ ;\ \alpha>1\), por lo tanto la serie Converge, no sabemos cuanto suma, ya que no es de la forma geométrica ni telescópica.

Estos criterios son para series de términos no negativos.

    Si  \(0\le\ an\ \le\ bn\) entonces:

\(\Sigma an\ \le\ \Sigma bn\), por lo tanto si \(\Sigma bn\ C,\ \Sigma an\ C\), por que \(\Sigma an\) es mas pequeña que \(\Sigma bn\), y no toman términos negativos.

por otro lado, si \(\Sigma an\ D,\ \Sigma ab\ D\), por que \(\Sigma an\) es mas pequeña que \(\Sigma bn\), por lo tanto si la suma de \(\Sigma an\) es infinita, la \(\Sigma bn\) seria un "infinito mas grande".

Por ejemplo:

\(\Sigma\frac{1}{n^{2e}}\ \), yo se que 2e es aproximadamente = 4 (Aproximando por debajo), por lo tanto, se que :

\(\Sigma\frac{1}{n^{2e}}\ <\ \Sigma\ \frac{1}{n^4}\ C\ \) por armónica de razón 4, por lo tanto \(\Sigma\frac{1}{n^{2e}}\ C\).

    Si  \(0\ \le\ an\ \le\ bn\) con \(bn\) != 0, entonces:

Si \(\lim\ \frac{an}{bn}\ =k\), entonces \(\Sigma ab\ y\ \Sigma bn\) son de la misma clase, o ambas Convergen o ambas Divergen.

si \(\lim\ \frac{an}{bn}\ =0\), entonces si \(\Sigma bn\ D\), \(\Sigma an\ C\).

Por ejemplo:

\(\Sigma\left(\frac{1}{n^2-n}\right)\), yo se que \(\Sigma\left(\frac{1}{n2}\right)\ C\), por lo tanto por criterio del equivalente:

\(\lim\ \left(\frac{\frac{1}{n^2-n}}{\frac{1}{n^2}}\right)\ =\ \lim\ \left(\frac{n^2}{n^2-n}\right)\ =\ \lim\ \left(\frac{n^2}{n^2}\right)\ =\ 1\), por lo tanto \(\Sigma\left(\frac{1}{n^2-n}\right)\ C\) por criterio del equivalente.

Una integral es el área que se forma debajo de una función, hasta el eje Ox.

Para calcular su valor podemos considerar 2 grandes métodos.