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\begin{document}

\title{Sucesiones, series e integrales}


\author[ ]{Juan Pablo}

\affil[ ]{}
\vspace{-1em}


\date{}

\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup




\begin{quote}
\section*{Sucesiones}\label{sucesiones}
\end{quote}

\selectlanguage{ngerman}\textbf{¿Qué es una sucesión?}

Observemos las siguientes listas de números:

3, 5, 7, \ldots{}

21, 16, 11, 6, \ldots{}

1, 2, 4, 8, \ldots{}

\par\null

Las listas ordenadas de números como estas, se llaman sucesiones, y cada
número en la sucesión se llama término, el cual es un número natural
mayor que 0.

\par\null

Las sucesiones siguen patrones, ~que con mayor o menor dificultad nos
permite conocer cual será el siguiente número.

En el primer ejemplo, siempre se suma 2, en el segundo, siempre se resta
5, en el tercero se multiplica por dos.

Por ejemplo el décimo termino de 1,2,4,8, n\ldots{} , \textbf{512},
\ldots{}

\par\null

\begin{quote}
\textbf{Sucesiones ARITMÉTICAS}\\
\end{quote}

Las sucesiones en las que el patr\selectlanguage{ngerman}ón involucra, sumar o restar un número
para obtener el siguiente, se llaman \textbf{sucesiones aritméticas}, y
son sucesiones en las que la diferencia entre cada uno de los términos
es siempre una constante k.

Como lo son el caso de la primera o la segunda, donde la constante es k=
2 y k=-5 respectivamente.

A esa constante k, se le llama \textbf{diferencia común}, y se puede
encontrar hallando la diferencia entre dos términos consecutivos de la
sucesión.

\par\null

\begin{quote}
Existen 3 formas de representar una sucesión:\\
\end{quote}

La que ya nombramos, es decir, enlistando los t\selectlanguage{ngerman}érminos: \{3,5,7,9,11,
\ldots{}\}

\par\null

Pero existen dos maneras distintas de representar las sucesiones, en
forma de fórmulas, con las cuales podremos hallar cualquier término de
la sucesión.

\begin{quote}
La forma~\textbf{Explícita} y la forma~\textbf{Recursiva}.\\
\end{quote}

Para definirlas, llamaremos ``a'' a la sucesi\selectlanguage{ngerman}ón, y ``an'' para hacer
referencia al n-simo término de la sucesión.

\par\null\selectlanguage{english}
\begin{longtable}[]{@{}ll@{}}
\toprule
n (N\selectlanguage{ngerman}º del término) & an (n-simo t\selectlanguage{ngerman}érmino de la sucesión)\tabularnewline
1 & 3\tabularnewline
2 & 5\tabularnewline
3 & 7\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

\par\null

\selectlanguage{ngerman}\textbf{Fórmulas Recursivas:}

\par\null

Las fórmulas recursivas nos da 2 datos de la sucesión: El primer
término, y como conseguir cualquier termino mediante el término
anterior.

~~~~~-a1 = 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~(El primer término de la sucesión es
3)

~~~~ -an = a(n-1) +2 ~ ~ ~ ~(Suma dos al término anterior)

\par\null

\textbf{Fórmulas Explícitas:}

\par\null

Las formulas explícitas nos permiten sustituir directamente por el
termino que nos interesa, y nos dará su valor.

~ ~ -an = 3 + 2(n - 1)

\par\null

\textbf{Convertir de fórmula Recursiva a fórmula Explícita (en
sucesiones aritméticas):}

\par\null

Las formulas recursivas nos daban el primer término (llamémosle
\textbf{A}) y la diferencia común (llamémosle \textbf{B}), por lo tanto,
para conseguir la fórmula explícita, podremos escribir \textbf{an = A +
B(n-1)}, para asegurarnos de que el primer término n = 1, anule la B, y
nos quede A como primer término, haciendo que coincida con la fórmula
recursiva.

\par\null

\textbf{Convertir de fórmula Explícita fórmula Recursiva(en sucesiones
aritméticas):}

\par\null

Aquí pueden suceder dos cosas, o bien nos la dan de la forma:~\textbf{an
= A + B(n-1)}, en donde ya tenemos el primer término y la diferencia
común, por lo tanto la forma recursiva es:

~ ~ -a1 = A

~ ~ -an = a(n-1) +B

O bien pueden dárnosla de la forma simplificada: \textbf{an = A-B + Bn},
donde ni el A ni el B son evidentes Ej. an = 10 + 2n, lo conveniente
ahora sería encontrar los primeros dos términos:

~ ~ a1 = 10 + 2(1) = 12

~ ~ a2 = 10 + 2(2) = 14



Donde ya encontramos el primer término (a1 = 12), y la diferencia común
(a2 - a1 = 2), por lo tanto:

~ ~ a1 = 12

~ ~ an = a(n-1) +2

\par\null

\begin{quote}
\textbf{Sucesiones GEOMÉTRICAS}\\
\end{quote}

Las sucesiones en las que el patr\selectlanguage{ngerman}ón involucra, multiplicar o dividir por
un número para obtener el siguiente, se llaman \textbf{sucesiones
geométricas}, y son sucesiones en las que la diferencia entre cada uno
de los términos es siempre una \textbf{razón} r.

Como lo son el caso del tercer ejemplo del principio, donde la razón es
r = 2 .

Esa razón puede ser hallada mediante la fórmula \textbf{an.r =
a(n+1)~}es decir la razón es el resultado de dividir dos términos
consecutivos de una sucesión geométrica.

\par\null

Estas también se pueden escribir de las mismas tres formas:

~ ~ \{an(\(r^0\)), an(\(r^1\)),
an(\(r^2\)), \ldots{} \} Por ejemplo : \{1, 2, 4, 8,
\ldots{}\}

\par\null

\textbf{Fórmulas Recursivas:}

~ ~ -a1 = A

~ ~ -an = a(n-1) . r

\par\null

Donde A es el primer término y r la razón.

\par\null

Ejemplo: a1 = A = 20 , r = \(\frac{1}{2}\).

\par\null

\{20, 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)\), 10.\(\left(\frac{1}{2}\right)\),
5.\(\left(\frac{1}{2}\right)\), \(\frac{5}{2}\).\(\left(\frac{1}{2}\right)\), \ldots{} \}

\par\null

\textbf{\{20, 10, 5,} \(\frac{5}{2}\)\textbf{,}
\(\frac{5}{4}\)\textbf{, \ldots{} \}}

\par\null

\textbf{Fórmulas Explícitas:}

~ ~ -an =~A(\(r^{n-1}\))

\par\null

Donde A es el primer término y r la razón.

\par\null

Ejemplo: A = 20 r =~\(\frac{1}{2}\).

\(\left(\frac{1}{2}\right)^{^1}\)

\{20, 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^1\), ~20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^2\),
20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^3\), 20.\(\left(\frac{1}{2}\right)^4\) \ldots{} \}

\par\null

\textbf{\{20, 10, 5,} \(\frac{5}{2}\)\textbf{,}
\(\frac{5}{4}\)\textbf{, \ldots{} \}}

\par\null

\textbf{Convertir de fórmula Recursiva a fórmula Explícita (en
sucesiones geométricas):}

\par\null

Las formulas recursivas nos daban el primer término (llamémosle
\textbf{A}) y la razón (llamémosle \textbf{r}), por lo tanto, para
conseguir la fórmula explícita, podremos escribir \textbf{an = A .
r\(^{\left(n-1\right)}\)}, para asegurarnos de que el primer término n = 1,
anule la r, y nos quede A como primer término, haciendo que coincida con
la fórmula recursiva.

\par\null

\textbf{Convertir de fórmula Explícita fórmula Recursiva(en sucesiones
geométricas):}

\par\null

Aquí pueden suceder dos cosas nuevamente, o bien nos la dan de la
forma:~\textbf{an = A .r\(^{\left(n-1\right)}\)}, en donde ya tenemos el
primer término y la razón, por lo tanto la forma recursiva es:

~ ~ -a1 = A

~ ~ -an = a(n-1) .r

\par\null

O bien pueden dárnosla de la forma simplificada: \textbf{an =
(\(\frac{A}{r}\)). r\(^n\)}, donde A no es evidente,
pero la razón si lo es, por lo que podemos multiplicar
\(\frac{A}{r}.r\)~y obtener el primer término A:

~ ~-a1 = A

~ ~-an = a(n-1) .r~

\par\null

\begin{quote}
\textbf{MONOTONÍA}\\
\end{quote}

La monoton\selectlanguage{ngerman}ía hace referencia a cómo se comporta una sucesión, según sus
términos, esta monotonía puede ser creciente o decreciente, siempre y
cuando el término siguiente sea siempre mayor que el anterior o siempre
menor que el anterior respectivamente.

\par\null

Si an \textless{} a(n+1) para todo n perteneciente a los naturales,
entonces se dice que a es una sucesión monótona creciente (SMC).

Si an \textgreater{} a(n+1) para todo n perteneciente a los naturales,
entonces se dice que a es una sucesión monótona decreciente (SMD).

\par\null

Para lograr identificar si una sucesión es monótona creciente o monótona
decreciente, lo que se suele utilizar es restarle a ~a(n+1), an y al
resultado hacerle el limite cuando n tiende a infinito, de forma que:

~ ~ Si lim a(n+1) - an ; n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] \textgreater{} 0 ,
entonces a(n+1) \textgreater{} an, por lo tanto, es una SMC.

~ ~ Si lim a(n+1) - an ; n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] \textless{} 0 , entonces
an \textgreater{} a(n+1), por lo tanto, es una SMD.

\par\null

\begin{quote}
\textbf{COMPORTAMIENTO}\\
\end{quote}

El c\selectlanguage{ngerman}ómo se comportan las sucesiones da lugar a 3 conceptos:
Convergencia, Divergencia u Oscilación.

Para hallar este comportamiento hay que encontrar el lim an
;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?], donde pueden ocurrir tres cosas:

\par\null

lim an ;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] = \textbf{K} =\textgreater{} \textbf{}
La sucesion converge a K. Por ejemplo lim \(\frac{1}{n}\)
;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] = 0.

lim an ;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] = \selectlanguage{english}\textbf{+-[?]} \selectlanguage{english}\emph{=\textgreater{} La
sucesion Diverge a ~+-[?]. Por ejemplo lim -n ;~n~\(\vec{ }\)[?] =
-\textbf{[?].}}

lim an ;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] \textbf{No existe~}\emph{=\textgreater{}
La sucesion oscila. Por ejemplo lim \(\left(-1\right)^n\)} No existe.
Oscila entre -1 y 1.

\par\null\par\null

\begin{quote}
\section*{Series}\label{series}
\end{quote}

\textbf{Que es una serie?}

Las series son la suma de todos los infinitos terminos de una sucesion.

Por ejemplo:

\par\null

an = \{3, 5, 7, \ldots{} \}

An = 3+5+7+ \ldots{}

(Siendo An la serie generada por la sucesion an)

\par\null

Para representar a las series, utilizaremos el simbolo Sigma mayuscula
(~\(\Sigma\) );

\par\null

An =~\(\Sigma\ an\) (An es la serie que representa a la sumatoria
de los terminos de la sucesion an).

\par\null

Para hallar su valor buscaremos el limite de la An, siendo An lo que
llamaremos \textbf{reducida enesima}.

La serie puede converger, divergir u oscilar segun lo haga la reducida
enesima.

\par\null

lim An ;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] = \textbf{S} =\textgreater{} La serie
converge, y su valor es S.

lim An ;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] = \selectlanguage{english}\textbf{+-[?]} =\textgreater{} La serie
diverge.

lim An ;~n~\(\vec{ }\)\selectlanguage{english}[?] \textbf{No existe} =\textgreater{} La
serie oscila.

\par\null

\begin{quote}
\textbf{Criterio necesario de convergencia:}\\
\end{quote}

Para que una serie converja, es necesario que el \textbf{lim an
;~n~}\(\vec{ }\)\textbf{[?] = 0}, siendo an, la sucesion que
genera la serie An ~= \(\Sigma\ an\).

\par\null

Por lo tanto si:

~~~~lim an ;~\(\vec{n}\)\textbf{[?]} != 0 =\textgreater{}
\(\Sigma\ an\) No converge.

~~~~lim an ;~\(\vec{n}\)\textbf{[?]} = 0 =\textgreater{}
\(\Sigma\ an\)~puede converger, no necesariamente lo har\selectlanguage{ngerman}á.

\par\null

\begin{quote}
\textbf{CLASIFICACIÓN}\\
\end{quote}

Las series se pueden clasificar de muchas formas, pero nos centraremos
en 3:

~ ~ Series geom\selectlanguage{ngerman}étricas.

~ ~ Series telescópicas.

~ ~ Series armónicas.

\par\null

Cabe aclarar que para poder hallar la suma de la serie, esta solo puede
tener la forma geométrica o telescópica.

\par\null

Las \textbf{series~geométricas}, son las que se pueden escribir como
\(\Sigma\ \left(q\right)^n\), siendo \(\left|q\right|\ <\ 1\).

\par\null

Su reducida enésima tiene la fórmula: \(\lim\left(\frac{q^{n0}\ +\ q^{n+1}}{1-q}\ \right)\ ,\ \vec{n}\)\selectlanguage{english}\textbf{[?]} =
\textbf{\(\left(\frac{q^{n0}}{1-q}\right)\)}.

\par\null

Ejemplo:~

\(Sn\ =\ \Sigma\ \left(\frac{1}{2}\right)^n\ =\ \left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)\ =\ 2\), a partir de n = 0 hasta \selectlanguage{english}[?], Converge y su suma es 2

\par\null

Las \textbf{series~telescopicas}, son las que se pueden escribir como
\(\Sigma\) b(n+k) - bn. Es decir que se puede representar como
la resta de un termino de la sucesion, menos el kesimo anterior.

\par\null

Su reducida enesima tiene la formula:~\(\lim\ \left(b\left(n+1\right)-b0\right)\)

\par\null

Ejemplo:

\(Sn\ =\ \Sigma\ \left(L\left(n+1\right)\ -\ L\left(n\right)\right)\ =\ \lim\left(L\left(n+1\right)\ -\ L\left(1\right)\right);\ \vec{n}\)\selectlanguage{english}[?] = +\selectlanguage{english}[?] Diverge.

\par\null

Las \textbf{series~armonicas}, son las que se pueden escribir como
\(\Sigma\) \(\frac{1}{n^{\alpha}}\).

Este tipo de series tienen una particularidad, se sabe que
si~\(\alpha\ \le1\ \), la serie Diverge, en cambio si~

\(\alpha\ >\ 1\), la serie Converge, y este tipo de series son muy
utilizadas para usar el criterio de comparacion, del que hablare a
continuacion.

\par\null

Ejemplo:

\(\Sigma\left(\frac{1}{n^5}\right)\), como~\(\alpha=5\ ;\ \alpha>1\), por lo tanto la serie
Converge, no sabemos cuanto suma, ya que no es de la forma geometrica ni
telescopica.

\par\null

\begin{quote}
\textbf{Metodos~o criterios para clasificar series:}
\end{quote}

Estos criterios son para series de terminos no negativos.

\textbf{Criterio de COMPARACION:}

~ ~ Si ~\(0\le\ an\ \le\ bn\) entonces:

\par\null

\(\Sigma an\ \le\ \Sigma bn\), por lo tanto si \(\Sigma bn\ C,\ \Sigma an\ C\), por que
\(\Sigma an\)~es mas pequena que~\(\Sigma bn\), y no toman
terminos negativos.

\par\null

por otro lado, si~\(\Sigma an\ D,\ \Sigma ab\ D\), por que~\(\Sigma an\) es
mas pequena que~\(\Sigma bn\), por lo tanto si la suma
de~\(\Sigma an\) es infinita, la~\(\Sigma bn\) seria un
``infinito mas grande''.

\par\null

Por ejemplo:

\(\Sigma\frac{1}{n^{2e}}\ \), yo se que 2e es aproximadamente = 4 (Aproximando
por debajo), por lo tanto, se que :

\par\null

\(\Sigma\frac{1}{n^{2e}}\ <\ \Sigma\ \frac{1}{n^4}\ C\ \) por armonica de razon 4, por lo
tanto~\(\Sigma\frac{1}{n^{2e}}\ C\).

\par\null

\textbf{Criterio del EQUIVALENTE:}

~ ~ Si ~\(0\ \le\ an\ \le\ bn\) con \(bn\) != 0, entonces:

\par\null

Si~\(\lim\ \frac{an}{bn}\ =k\), entonces \(\Sigma ab\ y\ \Sigma bn\) son de la misma
clase, o ambas Convergen o ambas Divergen.

\par\null

si~\(\lim\ \frac{an}{bn}\ =0\), entonces si
\(\Sigma bn\ D\),~\(\Sigma an\ C\).

\par\null

Por ejemplo:

\(\Sigma\left(\frac{1}{n^2-n}\right)\), yo se que~\(\Sigma\left(\frac{1}{n2}\right)\ C\), por lo tanto por
criterio del equivalente:

\par\null

\(\lim\ \left(\frac{\frac{1}{n^2-n}}{\frac{1}{n^2}}\right)\ =\ \lim\ \left(\frac{n^2}{n^2-n}\right)\ =\ \lim\ \left(\frac{n^2}{n^2}\right)\ =\ 1\), por lo tanto \(\Sigma\left(\frac{1}{n^2-n}\right)\ C\) por criterio del
equivalente.

\par\null

\begin{quote}
\section*{Integrales}\label{integrales}
\end{quote}

\textbf{Que es una integral?}

Una integral es el area que se forma debajo de una funcion, hasta el eje
Ox.

Para calcular su valor podemos considerar 2 grandes metodos.

\par\null\par\null\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.28\columnwidth]{figures/Integral/Integral}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{El método de \textbf{particiones equivalentes}, que consiste en dividir
el área a calcular en partes iguales (generalmente rectángulos), y
calcular su valor de forma aproximada, estas sumas pueden ser
subestimaciones o sobreestimaciones dependiendo de si el área encontrada
es inferior al área real o superior respectivamente.%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.28\columnwidth]{figures/integrales2/integrales2}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{\textbf{Formulas:}
Subestimación:
~~~~\(\Sigma\left(\frac{b-a}{n}\cdot\ f\left(\frac{b-a}{n}i\right)\right)\ desde\ i\ =\ 0\ hasta\ i\ =\ n-1\)
Sobreestimación:
~~~~\(\Sigma\left(\frac{b-a}{n}\cdot f\left(\frac{b-a}{n}\left(i+1\right)\right)\right)\ desde\ i\ =\ 0\ hasta\ i\ =\ n-1\)%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}

El método de las \textbf{integral definidas}, que consiste en
identificar que función es a la que le quiero hallar el área, y calcular
su~\textbf{anti-derivada~}y hallar su valor en los extremos definidos.

\par\null

\textbf{Formula:}

\par\null

\(\int_a^bf\left(x\right)\ dx\ =\ F\left(b\right)\ -\ F\left(a\right)\)

\par\null

Siendo F la anti-derivada de f, o mejor dicho siendo F el resultado de
integrar la función f.

\par\null

\begin{quote}
\textbf{Métodos~para calcular integrales indefinidas:}
\end{quote}

\textbf{Cambio de Variable:}

\par\null

\textbf{Integración por Partes:}

\textbf{}

\textbf{Método de Fracciones Simples:}

\par\null

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

