Relaciones de orden, equivalencia y Hasse

Valentín Actis (214514) - Andrés Fischer (188620) - Roxana Falco (214157)

Introducción

A continuacion se presenta un resumen breve sobre relaciones de equivalencia y relaciones de orden parcial, esto implica definir una relación y exponer sus propiedades. El material elaborado por la Cátedra de Matemática de Universidad ORT, se utiliza como referencia para extraer conceptos e imágenes.

Definición de relación

”El concepto de relacion implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas” (Enciclopedia, 2011). Teniendo en cuenta el concepto anteriormente expresado, veremos las relaciones binarias de un conjunto en si mismo. nos centraremos en explicar sus propiedades y cómo reconocerlas a través de las distintas formas de representación de una relación.
Tomemos un conjunto X no vacío, de allí surge que una relación es un subconjunto del mismo. Estas serán relaciones binarias en el conjunto X. Existen cuatro formas de representar una relación binaria: Extensión, Comprensión, Diagrama y Matricial. En el primer caso, se muestra cada pareja de la relación, a través de pares ordenados. Si lo expresamos por comprensión, se muestran todos los elementos del conjunto y además, se determinan las condiciones que tendrán las parejas para pertenecer a la relación. En el diagrama, se muestra la relación a través de vértices y aristas. Por último, se representa a través de una matriz cuadrada dónde solo se ingresan unos (cuando hay relación) y ceros (cuando no hay relación).
A modo de ejemplo:

Por comprensión:
Sea C = {1,2,3}, tal que: \((x,y)\in{R}\leftrightarrow x\leq y\)

Por extensión:
R = {(1,1), (1,2), (1,3) (2,2), (2,3), (3,3)}

Matricial:

\begin{equation} M_{r}=\left(\begin{array}[]{ccc}1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right)\nonumber \\ \end{equation}

Diagrama (grafo dirigido):

Grafo dirigido, extraído de ejemplo de material publicado en Aulas.

Para crear el diagrama, es necesario tener en cuenta:

  • Cuando un elemento está relacionado con sí mismo, se realiza un bucle (también llamado lazo).

  • Se realiza una flecha cuando hay vínculo entre dos elementos. Por ejemplo si tenemos (1,2) se representará: \(1\rightarrow 2\).

  • Si dos elementos no están relacionados, no se dibuja ninguna flecha.

En el dibujo que se muestra anteriormente, hay tres lazos indicados en cada vértice, esto denota que existe la relación (1,1), (2,2) y (3,3). Además, quedan dibujadas las aristas que salen de cada nodo, hacia el otro extremo de la relación. De esta forma, el uno se relaciona con el dos y el tres, y el dos con el tres.

Propiedades

Una relación puede aplicar la propiedad: Reflexiva, Simétrica, Antisimétrica o Transitiva.

  • Si es reflexiva, cada elemento se relaciona con sí mismo. Es posible identificarla de tres maneras:

    • Si miramos la relación por extensión, veremos que se encuentran expresados como: {(1,1), (2,2), (3,3)}.

    • En la matriz, se verifica mirando la diagonal principal: debe encontrarse presente el número uno a lo largo de toda la diagonal.

    • Por último, mirando el diagrama, debe haber un bucle en cada vértice.


  • Si es simétrica, la relación de dos elementos, debe darse en ambos sentidos. Es posible identificarla de tres maneras:

    • Si miramos la relación por extensión, debemos encontrar {(2,3), (3,2)}

    • En la matriz, podemos decir que \(M_{r}=M^{T}\) (matriz transpuesta).

    • Por último, mirando el diagrama, debemos encontrar que las aristas que van de un punto a otro, se dirijan en ambos sentidos. Esto es: \(dos\rightleftharpoons tres.\)

  • Si es antisimétrica, la relación de dos elementos, debe darse en un sólo sentido. La única relación bilateral que se admite es si \(a=b\). Es posible identificarla de tres maneras:

    • Si miramos la relación por extensión, encontramos por ejemplo: {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}

    • En la matriz, podemos ver que \(M_{r}\neq M^{T}\) (matriz transpuesta).

    • Por último, mirando el diagrama, debemos encontrar que las aristas que van de un punto a otro, se dirijan en un sólo sentido. Esto es: \(dos\rightarrow tres.\)

  • Si es transitiva, existe una relación entre a y b, y otra relación entre b y c, por ende, a y c quedan relacionados. Es posible identificarla de tres maneras:

    • Si miramos la relación por extensión, encontramos por ejemplo: {(1,2), (1,3), (2,3)}

    • La matriz, si la multiplicamos por sí misma, el resultado será menor o igual a la matriz original

    • Por último, mirando el diagrama, vemos que las aristas hacen un triángulo de esta forma: \((uno\rightarrow dos),(dos\rightarrow tres),(uno\rightarrow tres).\)


Relaciones de equivalencia y de orden parcial

Una vez que conocemos las propiedades, y además, sabemos reconocerlas, podemos identificar cuándo una relación es de equivalencia, y cuándo es de orden parcial. Decimos que se trata de una relación de equivalencia cuando cumple con las siguientes propiedades:

  • Reflexiva

  • Simétrica

  • Transitiva


Por otro lado, una relación de orden parcial cumple con las siguientes propiedades:

  • Reflexiva

  • Antisimétrica

  • Transitiva