Passage des équations 32 à 45

Passage de l’équation (32) à l’équation (45)

Introduction

Equation 37 :

\begin{equation} \hat{\nabla}_{\mu}\rho^{G}=\sum_{k}\frac{k}{a}\chi^{G}Q_{\mu}^{k}\nonumber \\ \end{equation}

Equation 32 :

\begin{equation} \rho^{G}=\frac{1}{2}c_{2}\dot{\phi}^{2}+...\nonumber \\ \end{equation}

Donc :

\begin{equation} \hat{\nabla}_{\mu}\rho^{G}=c_{2}\dot{\phi}\hat{\nabla}_{\mu}\dot{\phi}+...\nonumber \\ \end{equation}

Calcul Clément

\begin{equation} \dot{\varphi}=u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\varphi\\ \end{equation}

En utilisant (4) pour un tenseur d’ordre 0, on a

\begin{equation} \hat{\nabla}_{\mu}\varphi=h_{\mu}^{\nu}\nabla_{\nu}\varphi=\left(g_{\mu\nu}-u_{\mu\nu}\right)\nabla^{\nu}\varphi=\nabla_{\mu}\varphi-u_{\mu}\dot{\varphi}\nonumber \\ \end{equation}

ou

\begin{equation} \nabla_{\mu}\varphi=\hat{\nabla}_{\mu}\varphi+u_{\mu}\dot{\varphi}\nonumber \\ \end{equation}

Si l’on applique cette relation à \(\dot{\varphi}\), cela donne :

\begin{align} \hat{\nabla}_{\mu}\dot{\varphi} & =\nabla_{\mu}\dot{\varphi}-u_{\mu}\ddot{\varphi} \\ & =\nabla_{\mu}\left(u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\varphi\right)-u_{\mu}\left(u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\left(u^{\beta}\nabla_{\beta}\varphi\right)\right) \\ & =u^{\alpha}\nabla_{\mu}\nabla_{\alpha}\varphi+\left(\nabla_{\mu}u^{\alpha}\right)\left(\nabla_{\alpha}\varphi\right)-u_{\mu}u^{\alpha}\left[u^{\beta}\nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}\varphi+\left(\nabla_{\alpha}u^{\beta}\right)\left(\nabla_{\beta}\varphi\right)\right] \\ & =u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\nabla_{\mu}\varphi+\left(\nabla_{\mu}u^{\beta}\right)\left(\nabla_{\beta}\varphi\right)-u^{\alpha}u_{\mu}\nabla_{\alpha}\left(u^{\beta}\nabla_{\beta}\varphi\right)+u^{\alpha}u_{\mu}\left(\nabla_{\alpha}u^{\beta}\right)\left(\nabla_{\beta}\varphi\right)-u_{\mu}A^{\beta}\left(\nabla_{\beta}\varphi\right) \\ & =u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\nabla_{\mu}\varphi+\left(\nabla_{\mu}u^{\beta}\right)\left(\nabla_{\beta}\varphi\right)-u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\left(u_{\mu}\dot{\varphi}\right)+u^{\alpha}\dot{\varphi}\left(\nabla_{\alpha}u_{\mu}\right)+u_{\mu}A^{\alpha}\left(\nabla_{\alpha}\varphi\right)-u_{\mu}A^{\beta}\left(\nabla_{\beta}\varphi\right) \\ & =u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\left(\nabla_{\mu}\varphi-u_{\mu}\dot{\varphi}\right)+\left(\nabla_{\mu}u^{\beta}\right)\left(\nabla_{\beta}\varphi\right)+\dot{\varphi}A_{\mu} \\ & =u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\left(\hat{\nabla}_{\mu}\varphi\right)+\dot{\varphi}A_{\mu}+\left(\nabla_{\mu}u^{\beta}\right)\left(\hat{\nabla}_{\beta}\varphi\right)+u_{\beta}\dot{\varphi}\left(\nabla_{\mu}u^{\beta}\right)\\ \end{align}

Or, \(u_{\alpha}\nabla_{\mu}u^{\alpha}=\frac{1}{2}\nabla_{\mu}\left(u_{\alpha}u^{\alpha}\right)\) et comme \(u_{\alpha}u^{\alpha}=1\), \(u_{\alpha}\nabla_{\mu}u^{\alpha}=0\)

Ainsi :

\begin{equation} \hat{\nabla}_{\mu}\dot{\varphi}=u^{\alpha}\nabla_{\alpha}\left(\hat{\nabla}_{\mu}\varphi\right)+\dot{\varphi}A_{\mu}+\left(\nabla_{\mu}u^{\beta}\right)\left(\hat{\nabla}_{\beta}\varphi\right)\\ \end{equation}

On va maintenant tenter de montrer que le dernier terme est au moins d’ordre 2, pour cela, il suffit de montrer que \(\nabla_{\mu}u^{\beta}\) est d’ordre 1 :

\begin{align} \hat{\nabla}_{\mu}u_{\alpha} & =h_{\mu}^{\nu}h_{\alpha}^{\beta}\nabla_{\nu}u_{\beta} \\ & =h_{\alpha}^{\beta}h_{\mu}^{\nu}\nabla_{\nu}u_{\beta} \\ & =h_{\alpha}^{\beta}\left(\nabla_{\mu}u_{\beta}-u_{\mu}\dot{u_{\beta}}\right) \\ & =\left(g_{\alpha}^{\beta}-u_{\alpha}u^{\beta}\right)\left(\nabla_{\mu}u_{\beta}-u_{\mu}A_{\beta}\right)\\ \end{align}

Le terme de gauche est d’ordre 1, le premier facteur du ter,e de droite est d’ordre 0 et le second terme du second facteur du terme de droite est d’ordre 1, donc on est bons.

Finalement :

\begin{equation} \hat{\nabla}_{\mu}\dot{\varphi}=\dot{\hat{\nabla}_{\mu}\varphi}+\dot{\varphi}A_{\mu}\\ \end{equation}